受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

絶対値と導関数の問題、神戸大学文系2008年第一問
最近町を歩けば貼るカイロが貼られるシーンが見られる季節になりましたが、今日は神戸大学2008年度の文系1番の問題です。


[問題]
081214_m1.jpg
1、xの2次関数f(x)=ax^2+bx+cとその導関数f'(x)について、次の問に答えよ。
ただし,a,b,cは定数でa≠0とする。

(1)実数α、βについて、f(α)=f(β)ならば|f'(α)|=|f'(β)|であることを示せ。

(2)実数α、βについて、|f'(α)|=|f'(β)|ならばf(α)=f(β)であることを示せ。


[解答・解説]
この問題は微分というよりは絶対値をちゃんと扱えるかって言う問題のような気がせんわけでもないです。

絶対値の扱いは大丈夫ですか?

そうか…そしたらいっしょに確認しましょう。
081214_m2.jpg

1、|A|=|B|⇔A=BまたはA=-B
のようにプラスとマイナスで場合わけしてはずす。

2、|A|=|B|⇔A^2=B^2
のように二乗してはずす。

3、|x2-x1|は数直線上の2点x=x1とx=x2の距離と解釈する。

ぐらいをマスターしたらだいたい大丈夫だと思います。
1と2は結局は一緒で2は便利ですが、あまり式が複雑だと2を使うと更に2乗せなあかんことなって殺されそうになることがあります。

3は絶対値の図形的な意味は距離のことです。
ベクトルでも長さは絶対値をつけますよね。
たまに絶対値を距離と考えると解きやすい問題があります。
今度それを書いてみよかな。

今日は1か2を使います。

081214_m3.jpg

微分をしておいてf(α)=f(β)って言う式を整理すると
aα^2+α=aβ^2+β
って言う式になります。

そして、|f'(α)=|f'(β)|は2を使って二乗して整理すると
a(aα^2+α)=a(aβ^2+β)
と言う式がでますが、a≠0なのでaで割れて
aα^2+α=aβ^2+β
と言う式になります。

だから
f(α)=f(β)⇔|f'(α)=|f'(β)|

で(1)と(2)が両方示されてしまうので、(2)は(1)より題意成立とかちょっとふざけた解答になってます。


ただ⇔って言う記号を使って変型していく同値変型と言うやり方を使ってますが、この同値である(必要十分である)と言う概念は難しいです。

むやみに⇔で結ぶと同値でないのに書いてしまったら減点されたりバツにされると言う結構恐ろしい記号です。

f(α)=f(β)⇒aα^2+α=aβ^2+βはさすがに正しいのは当たり前ですが

単にcを両辺からひいてるだけだから、aα^2+α=aβ^2+βの両辺にもう一回cをたすとf(α)=f(β)に戻るから
aα^2+α=aβ^2+β⇒f(α)=f(β)
も成立して

f(α)=f(β)⇔aα^2+α=aβ^2+β

とかけます。

こうやって足したり引いたりしてる式の変型では⇔は成り立ちます。


同じように
|f'(α)=|f'(β)|⇔a(aα^2+α)=a(aβ^2+β)
までは正しいですが
a(aα^2+α)=a(aβ^2+β)⇔aα^2+α=aβ^2+β
は右から左へは成り立ちますが、左から右はa≠0でないと成り立ちません。

なぜなら、例えば
a=0の時a5=a6はどっちも0なので成立しますが、5=6はさすがにおかしいです。

そこだけ気を付けてください。


もう同値とかわけわからん!って言う人は

(1)f(α)=f(β)とするとaα^2+bα-aβ^2-bβ=0

このとき
f'(α)^2-f'(β)^2=a(aα^2+bα-aβ^2-bβ)=0
より
|f'(α)|=|f'(β)|

(2)|f'(α)|=|f'(β)|とするとa(aα^2+bα-aβ^2-bβ)=0
でa≠0より
(aα^2+bα-aβ^2-bβ)=0

このとき
f(α)-f(β)=aα^2+bα-aβ^2-bβ=0
だから
f(α)-f(β)


と言うように、一つ一つ示してください。


ここで使ってる
「A=Bを示したい場合はA-Bを計算して0になればオッケー」
の証明の仕方は覚えておいてください。



ちなみにこの問題はグラフをかくと

081214_m4.jpg

αとβは二次関数の軸に線対称な位置で接線も線対称だから符号が反対になってるなって言うことがわかります。

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