受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

関数と整数問題、九州大学2007年文系の第一問
整数問題は一日三問以上は解いたらあかんってよく言われますがそんなことはありません。今日は関数と整数の問題で典型的なので、ぜひやり方を覚えてほしい問題です。

九州大学2007年度の第一問です。


[問題]
081216_m1.jpg
f(x)=(x^2-2)(x^2-4x+2)とおく。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)方程式f(x)=0の実数解xをすべて求め、小さい順に並べよ。
(2)不等式f(n)≦0を満たす。
整数nをすべて求めよ。
(3)不等式f(n)≦1を満たす整数nをすべて求めよ。


[解答とか解説]
(1)はx^2-2=0とx^2-4x+2=0に二次方程式の解の公式を使います。

081216_m2.jpg

はい、x=±√2とx=2±√2ですね。
さすがよく出来てるな。

これを小さい順に並べよってことですが、まあ写真のようにわざわざ
1<√2<2
とか細かく書かなくても、いきなり答書いても恐らく大丈夫だと思います。


この(1)の問題は一見二次方程式を二つ解くだけの単純な問題ですが、実はこれはy=f(x)の概形が書けて(2)(3)で使えるとこに意味があります。
グラフの概形を書けって言われると微分しますが、こういう4次関数みたいに性質が知られている単純な関数ではf(x)=0の解から適当なグラフが書けて利用出来るって言うのを頭の片隅に入れといてください。



と言うことで(2)では
081216_m3.jpg
グラフからマイナスになってる部分
-√2≦x≦2-√2,√2≦x≦2+√2
にある整数を求めます。

n=-1,0,2,3ですね。


(3)も
f(n)≦1
なのでf(x)=1を解きたくなるとこですが、これをすると血吐いて倒れます。
実はこの問題ではそれでも簡単に因数分解出来るので血吐いて倒れませんが、これをやってもし因数分解出来ない関数だったらやっぱり血吐いて倒れます。

そら四次方程式の解の公式はあるにはありますが。


と言うことでグラフから、n=-2,1,4辺りを調べてそれが1と比べてどうなるのか実験してみます。
難しい問題にはこうやって具体的な値を入れてどんな値になるかみてみると見えてくるって言うことがよくあります。

このタイプの整数問題では、この方法がよくあるので一応覚えておいてください。


早速、やってみると

081216_m4.jpg

f(-2)=28で1より大幅に大きいからx≦-2の範囲では1より大きくなることがわかります。
f(1)=1なのでn=-1,0,1,2,3は1以下だとわかります。
f(4)=28でこれも1より大きいからx≧4では1より大きくなることがわかります。

これで答えは
n=-1,0,1,2,3
とわかりました。


高校数学の問題と解説

整数問題の解法の解説と問題演習




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/86-cc38ebf4
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析