受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

必要条件、十分条件の問題の解き方。センター試験2008年の第一問の(2)
必要条件や十分条件とか言いだすと、教室の40人の内17人くらいが
ぶほー!
って血はいて倒れますが、そろそろセンター試験なのでセンター試験の問題を題材にとりあげていきたいと思います。

センター試験2008年の第一問の[2]です。

[問題]
次の(ケ)~(シ)に当てはまるものを、下の(0)~(3)のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

自然数m,nについて条件p,q,rを次のように定める
p:m+nは2で割り切れる。
q:nは4で割り切れる。
r:mは2で割り切れ、かつnは4で割り切れる。

条件pの否定をp~、条件rの否定をr~で表す。
このとき
pはrであるための(ケ)
p~はr~であるための(コ)
「pかつq」はrであるための(サ)
「pまたはq」はrであるための(シ)


(0)必要十分条件である。
(1)必要条件であるが十分条件でない
(2)十分条件であるが必要条件でない
(3)必要条件でも十分条件でもない。


[解答とか解説]
まず十分条件やら、必要条件やらが出てくるとぶほー!ってなる話ですが、

例えば犬がいるとします。
犬ならそれは動物です。

それを
犬⇒動物
とか表してます。

しかし
動物がいるとします。
動物はダチョウとかもいるし、犬とは限りません。
だから
動物⇒犬は成り立ちません。

081219_m1.jpg

後はどっちが十分条件で必要条件なのかってよく迷うところですがA⇒BならAはBであるための十分条件?十分な条件?AはBであるためには十分な条件。十分って何?必要って何?…

と考えるとまたぶほー!ってなるので、とりあえずもう必要とか十分とか意味を考えないでください。

これはまず理屈の前に暗記です。
A⇒B
はAが十分条件でBが必要条件です。
これを暗記して何も考えずに答えましょう。

それでも納得できないって言うのはよくわかります。
オレもそういう人間でした。
でも例えば
7×8が56とわかるのは実際には理屈抜きで覚えてしまってるから高速に計算出来るわけです。
それと一緒でこれも覚えて高速処理してしまうことが高度な数学への発展につながります。
それにセンター試験で迷う時間は許されません。

暗記の仕方は
A⇒B
の記号「⇒」の左に縦線一本を入れると十が出来るから、そっちが十分条件です。
これは正直、最初聞いた時はこんなかっこ悪い数学いらんわ!ってむかつきましたが、悔しいことに覚えてしまって間違えなくなりました。


さて、問題に入って

まず最初の
pはrであるための(ケ)
ですが、
p⇒rと
r⇒pが正しいかどうかを考えてみます。

p⇒r

m+nが2で割り切れる⇒mは2で割り切れ、かつnは4で割り切れる
ですが、そんなわけなさそうなので一つ反例を考えてm=n=1であればm+n=2で2で割り切れるけど、mは2の倍数でないからこれは偽です。

だからpは十分条件でないとわかります。

r⇒p

mは2で割り切れ、かつnは4で割り切れる⇒m+nが2で割り切れる
ですがiとjを自然数としてm=2i,n=4jとおけてm+n=2i+4j=2(i+2j)だからm+nは2で割り切れるので真。

よってpは必要条件であるとわかります。

だから(ケ)は(1)の必要条件であるが十分条件でない
です。

次に
p~はr~であるための(コ)
ですがこれは、考えてもいいかもしれませんがさっきの対偶をとって素早く答えを出してください。
対偶は否定にして⇒の向きを反対にするだけです。

p⇒rは偽でしたが、この対偶はr~⇒p~でこれが偽です。

よってp~は必要条件ではありません。

r⇒pは真でしたが、この対偶はp~⇒r~でこれが真です。

よってp~は十分条件です。


だから(コ)は(2)が答えです。


対偶とかどっちが十分で必要とか悩んだら負けです。
何も考えずにただ暗記してることを使っていきましょう。

さて
「pかつq」はrであるための(サ)



これもまずは
「pかつq」⇒r
を考えてこれは
m+nは2で割り切れてnは4で割り切れる⇒mは2で割り切れ、かつnは4で割り切れる
ですが、m+n=2i、n=4jとするとm=2i-4j=2(i-2j)よりmは2で割り切れます。
nは元から4で割り切れます。
だから真で、「pかつq」は十分条件です。

また

r⇒「pかつq」
を考えて
mは2で割り切れ、かつnは4で割り切れる⇒m+nは2で割り切れてnは4で割り切れる
ですが、m=2i、n=4jとおくとm+n=2(i+2j)でnは元から4で割り切れるからこれも真です。
だから「pかつq」は必要条件です。

だから(サ)は必要十分条件の(0)です。


最後に
「pまたはq」はrであるための(ス)


「pまたはq」⇒r
を考えると、これはpであってもqであってもどっちでもrになるってことですが、
そもそもp⇒rが偽なのでこれは偽です。
ちなみに
q⇒rの方も偽なのはすぐにわかります。


よって
「pまたはq」は十分条件ではありません。

また

r⇒「pまたはq」
を考えるとこれはrであればpかqどっちかが成立するってことですが、そもそも
r⇒q

mは2で割り切れ、かつnは4で割り切れる⇒nは4で割り切れる
は当たり前なので真です。

よって
「pまたはq」は必要条件です。

だから
(シ)は(1)です。


それか、一つ前の問題で「pかつq」⇔rってわかってるからrと「pかつq」は同値なので
「pまたはq」はrであるための…は、「pまたはq」は「pかつq」であるための…を考えたらいいからこれはすぐに

「pまたはq」⇒「pかつq」は成立しないが
「pかつq」⇒「pまたはq」は成立するから必要条件であると結構すぐにわかります

センター試験の過去問の解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/89-2e0e34ce
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析