受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

複素数の物理的考察
何故原子核は陽子と中性子でできていますが、何故陽子はプラス同士で反発するのに固まってるんでしょうか。
これは実はちゃんと反発していて飛び出すことがあります。
それが一種の放射線です。

すごく簡単に言いすぎですが
粒子は複素数の波動が流れてて、その波動関数をΨとすると
|Ψ|^2
が実際その粒子が観測される確率と思ってください。

原子核は陽子同士など反発してますが、陽子や中性子の周囲にπ中間子という粒子が存在してて力が作用して結び付けています。
これを核力と言いますが、この核力が斥力より強く作用しているので陽子同士は結ばれています。

これがたまに本当に反発してα粒子と言ってα粒子であるHeの原子核が飛び出します。


しかし核力は強くα粒子はこの核力を振り切るだけのエネルギーを持ったから飛び出したわけではありません。

ここで簡単な一次元のモデルを考えて
核力をVのポテンシャル障壁と例えて、エネルギーEの粒子が入射するとします。
V>Eならこのポテンシャル障壁を越えることはありえなさそうですが、そうではありません。

このポテンシャル障壁を通り抜けていく向きに動く粒子の波動関数Ψは、Aを複素数の定数、pを運動量、hをディラック定数、iを虚数とすると、
Ψ=Ae^{i(p/h)x}
と表せます。(e^iΘ=cosΘ+isinΘ)

このポテンシャル障壁での運動量は
エネルギー=(運動量の二乗)/2m
から無理矢理表すと
p=√{2m(V-E)}i、(iは虚数)
です。
虚数になってしまいます。

波動関数に代入すると
Ψ=Ae^(i(p/h)x)=Ae^(-(√{2m(V-E)}/h)x)
とi×i=-1で位相のとこ(ここ→(i(p/h)x))が実数になってしまいます。
実数になることで、
|Ψ|^2=|A|^2e^(-(2√{2m(V-E)}/h)x)
と確率は指数関数的に減少します。

運動量が実数なら
|e^iΘ|^2=cosΘ^2+sinΘ^2=1
だから
|Ψ|^2=|A|^2
になるところですが、運動量が虚数になることで
|Ψ|^2=|A|^2e^(-(2√{2m(V-E)}/h)x)
と指数関数的に減少します。
急激に減少します。
しかし0ではありません。

つまり粒子はとても少ない確率ですが粒子は自分のエネルギーより大きいポテンシャル障壁を通り抜けることがあります。
これをトンネル効果と言います。

これは簡単にするために独特な設定で計算をしているので、ちゃんと量子力学の本でトンネル効果を見ましょう。


運動量が虚数ってのはどういうことでしょうか。
複素数の波動があって、実際に観測されるのはその絶対値の二乗の実数です。


ここでいきなり話がかわって複素数について話ます。
実数体R上の一変数xの多項式f(x)とは

f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+a2x^(n-2)+…+an
(a0,a1,a2…an∈R)
のことで、
f(x)=a(x-c1)(x-c2)(x-c3)…(x-cn)
と一次の因子に分解しようとすると、例えば
f(x)=x^2+1=(x-i)(x+i)
というようにi^2=-1になるiを考えなければなりません。

一般的にはα^n=1で
R(α)
は元が
a0+a1α+a2α^2+…+an-1α^(n-1)
と1,α,α^2,…,α^(n-1)を基底としたR上のベクトル空間という意味です。
R(i)
これは元が
a0+ia1(a0,a1∈R)
と1とiの二次元のベクトル空間になります。
iを2乗すると-1と実数に戻ります。

一般的に
R(α)が四則演算が与えられていて(つまり体という)
a0+a1α+a2α^2+…+an-1α^(n-1)=0
とできる時、R上代数的と言い、R(α)/Rは代数拡大と言います
R(i)これはよく知ってる複素数体Cです。
C=R(i)
R(i)は体で、
i^2+1=0
とできるので、これはR上代数的でR(i)/Rは代数拡大です。

ちょっと難しい話が続きましたが、これ以上R(i)は代数拡大ができません。これを代数的閉体と言います。
証明するのは大変なので代数の本を見てください。


つまり複素数は実数のこれ以上代数拡大できない代数拡大で代数的閉包と言います。
複素数体C上の一変数xの多項式f(x)で
f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+a2x^(n-2)+…+an
(a0,a1,a2…an∈C)

f(x)=a(x-c1)(x-c2)(x-c3)…(x-cn)
でc1,c2…cn∈CとC上で一次の因子に分解できます。


複素数は単にi^2=-1と定義したものではなく、実数をこれ以上代数拡大できない代数拡大というそれなりに必然的に出てくる数なわけです。


そんな複素数は実数上で代数的なので確かに見た目は実数つまり観測は実数であるが、一次の因数に分解すると複素数が出るように複素数の波動関数があると関係が無くも無いかもしれません。


複素数が物理的に意味を持っているかもしれないということが、わかってきたところで運動量が虚数ってのはどういうことなんでしょうか。
これは時間を虚数で計算してます。
いやっむしろ普段の時間が虚数で、実数なのかもしれません。
x軸y軸z軸t軸はどう考えても、時間のt軸だけ特殊です。

光速度をcとすると、三平方の定理から
d^2x/dt^2+d^2y/dt^2+d^2z/dt^2=c^2

d^2x+d^2y+d^2z=c^2d^2t
光が進む速度の大きさを座標で表すと
√(d^2x/dt^2+d^2y/dt^2+d^2z/dt^2)で
光の速度とcと等しい。

式を綺麗にするために、時間の軸をcを基準にとって
d^2x+d^2y+d^2z=d^2t
とします。

すると
d^2x+d^2y+d^2z-d^2t=0
(dx,dy,dz,idt)・(dx,dy,dz,idt)=0
です。
x軸y軸z軸とt軸を同等に扱うには、むしろ時間が虚数でtiと考えると
(dx,dy,dz,dt)・(dx,dy,dz,dt)=0
とすべて同等になってます。
だから、空間は実数、時間は虚数です。
さっきはむしろトンネル効果の時、位相が実数になりました。
波動関数も
e^{i(p/h)x}ではなく
e^{(p/h)x}でpの方が実は虚数なのかもしれませんが、まだまだ勉強不足でわかりません。
また物理的にも数学的にも勉強できたら修正したり、書きたします。



テーマ:科学 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/9-075d8292
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析