受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

2次関数の問題、センター試験2008年度の第二問
センター試験の2008年度の第二問の二次関数の問題を一緒にやりませんか?

[問題]
081219_m2.jpg
081219_m3.jpg

a,bを定数とし、a≠0とする。2次関数
y=ax^2-bx-a+b…①
のグラフが点(-2,6)を通るとする。

このときb=-a+(ア)
であり、グラフの頂点の座標をaを用いて表すと
((-a+(イ))/(ウ)a),-((エ)a-(オ))^2/(カ)a)
である。
さらに2次関数①のグラフの頂点のy座標が-2であるとする。
このとき、aは
(キ)a^2-(ク)(ケ)a+(コ)=0
を満たす。これより、aの値は
a=(サ),(シ)/(ス)である。

以下a=(シ)/(ス)であるとする。

このとき、2次関数のグラフの頂点のx座標は(セ)であり、①のグラフとx軸の2交点のx座標は(ソ)、(タ)である。

ただし、(ソ)と(タ)は解答の順序を問わない。

x=(チ)のとき、最小値(ソテ)をとり
x=(ト)のとき、最大値(ナニ)/(ヌ)をとる。



[解答]
これはイカセンです。

イカにもセンター試験な問題…
誰もわからへんわ!

これは本当にいかにもセンター試験な問題です。
この絶妙な数字の組み合わせ、計算のややこさ…


まあやってみましょう。
081219_m4.jpg
まずは①に座標(-2,6)を代入して整理します。
そしてb=-a+2が出てこれを①に代入して頂点の座標を求めるために文字aが含まれた2次関数の平方完成をします

この微妙な計算のややこしさがいかにもセンター試験です。
センター試験はこういうもんやと思って、よっしゃかかってこいや!って正確に高速処理しようとする心構えをしたりとかコツを掴んでいくとそれだけで点数が上がります。


頂点((-a+2)/2a),-(3a-2)^2/4a)そしてy座標が-2なので、
-(3a-2)^2/4a=-2
で整理して
(9a-2)(a-2)=0
a=2,2/9




以下a=(シ)/(ス)であるとする。

って言う文章がありますが、これを見落としたりしてどうやって解くのか悩むことがあります。
これもいかにもセンター試験なところなので、過去問をやってコツを掴む!って言うのを心得てください。
センター試験は本当にこういうところで差が出てしまいます。


(-a+2)/2a)にa=2/9を代入して、4になって頂点は
(4,-2)とわかります。

それでx座標との交点は
y=ax^2-(-a+2)x-2a+2
に代入してy=0とすれば良いですが頂点は(4,-2)だから①は
y=a(x-4)^2-2
でa=2/9だから
y=2/9(x-4)^2-2
と関数がわかってy=0とすると
2/9(x-4)^2-2=0

(x-4)^2=9

x-4=±3

x=7,1
と言うようにした方が若干早くて計算が簡単になります。

センター試験はこういうコツがあるから、過去問をやってそれに慣れていってください。
081219_m5.jpg

最小値はそら頂点ですが、最大値の方は二次関数の軸x=4が区間の中点(0+9)/2=4.5より左側にあるからx=0よりx=9の方が軸x=4から遠くなるのでx=9で最大になります。

こうやって図を書いて素早く見た目で判断したりとか、センター試験慣れをしてください。


センター試験の過去問の解説




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