受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

図形問題、センター試験2008年度数学1Aの第3問
センター試験の図形問題を今からやります。


[問題]
△ABCにおいて、AB=7,BC=4√2,∠ABC=45°とする。
また、△ABCの外接円の中心をOとする。

このとき、CA=(ア)であり、外接円Oの半径は((イ)/(ウ))√(エ)である。
∠ADC=(オカ)°であるから、AD=xとするとxは2次方程式
x^2-((キ)√(ク))x-(ケコ)=0
を満たす。
x>0であるからAD=(サ)√(シ)となる。

下の(ス),(セ),(ツ)には、次の(0)~(5)のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。
ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

(0)AC (1)AD (2)AE (3)BA (4)CD (5)ED

点Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長の交点をEとする。
このとき,∠CAE=∠(ス)Eであるから、△ACEと△D(セ)は相似であるl。
これより
EA=((ソ)/(タ))√(チ)EC
である。また、EA^2=(ツ)・ECである。したがって
EA=((テト)/(ナ))√(ニ)
であり、△ACEの面積は(ヌネ)/(ノ)である。


[解答とか解説]
とりあえずはセンター試験と言えども図をそこそこ正確に書くのが命です。

081220_m1.jpg

CAは余弦定理を使います。

そこは大丈夫だと思いますが外接円Oの半径を求めなければなりません。
これは正弦定理から外接円の半径Rとすると
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
でもとまりますが、普段正弦定理は
a/sinA=b/sinB=c/sinC
までしか使わなかったりkを定数として
a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
とおくと…みたいな解答したりして忘れるかもしれないので注意してください。

忘れた時は直角三角形は斜辺が外接円の直径で半径の2倍の2Rだから
sinA=a/2R
とかで思い出してください。

この問題ではACと∠ABCがわかってるから

R=AC/2sin∠ABC

より(5/4)√2
です


081220_m2.jpg
∠ADCはこれは弧ACに対する円周角から
∠ABC=45°と等しいから45°とわかります。
円周角は中学生のもんって感じがしますがほんまよく使うので円周角はどうか?って考えるようにしてください。

それで
AD=xとするとxは2次方程式
x^2-((キ)√(ク))x-(ケコ)=0
とか言うのがありますが、この形になるのは余弦定理で
c^2=a^2+b^2-2abcosC
のaかbをxとした時です。
たぶん一回は教科書でやったと思います。

そういう予想を立てて△ADCにおいて余弦定理から
AC^2=AD^2-DC^2-2AD・DCcos45°
と立てると
x^2-2√5x-35=0
が出てきます。

これを解いてx>0の方の解はx=3√5です。


次は
点Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長の交点をEとするってことですが、これは
BCの長さ4√2はだいたい5.6くらい
CDの長さ√10は3より少し大きいくらい
とそこそこ正確に書いておかないと反対側で交わったりするので注意してください。

081220_m3.jpg

なんか∠CAE=∠(ス)Eとかありますが、これは内容的には簡単ですがセンター特有のわかりにくさがあります。
∠CAEとこれば接弦定理を使うであろうと思いますが、接弦定理から∠CAEと等しいのは
弧ACの円周角の∠ABCと∠ADCでした。
これらは45°でしたが∠(ス)Eのように最後がEで終わりません。

しかし∠ADCは∠ADEとおなじことです。

記述式なら∠ADCと書いたら終わりですが、このマーク式の誘導のやらしさがあるので過去問をたくさんやってこういうコツを掴んでいってください。


△ACEと△D(セ)が相似って言うところはさっきの設問が
∠CAE=∠ADE
だったのでこの書き方から
C→A
A→D
E→E
に対応させて自動的に

△ACE∽△DAE
とわかります。

間違いまくってる数学教育ですがセンターはこういうもんです。
そんなんそれなりの国立大学を目指してるならセンター試験レベルの問題は満点取れるレベルなので後はこういう慣れが必要になってきます。

それで後から確かにこの二つの三角形は∠Eが共通なので二角が等しいから相似やなって確認します。


EA=((ソ)/(タ))√(チ)EC

がありますが

まあこれは相似から
EA:EC=…
とか
EA:…=EC:…
みたいな相似比の式を作って出ると思われます。
…のとこは具体的な数字が入らなければなりません。
△ACEと△DAEでは長さがわかってるのは
AC=5とAD=3√5
です。
だからこの二つを相似比の式がちゃんと成り立つように入れて
EA:EC=AD:AC
です。
これで
EA=(3/5)√5EC
とわかります。

これも内容的には簡単なんですが、こういう誘導にあわしていく思考になれていないとわけわからんことなって時間が無くなって第四問が何も出来ずに終わって人生設計が変わってしまいます。


081220_m4.jpg

また、EA^2=(ツ)・ECである
のとこは、これは方べきの定理の形が丸出しなのでわからない時は先にこっちから入れて置きましょう。

EA^2=ED・EC
でED=EC+CD
=EC+√10
だから
EA^2=(EC+√10)・EC
にしてから
EA=(3/5)√5EC
とあわしてECとか消去してときます。

これで
EA=(15/4)√2

△ACE=1/2EA・ACcos45°
=75/8


センター試験の過去問の解説




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