受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の問題、センター試験数学1A2008年度の第4問
今からセンター試験の確率の問題をやってもらいます。


[問題]
第4問
さいころを3回投げ、次の規則にしたがって文字の列を作る。
ただし、何も書かれていないときや文字が1つだけのときも文字の列と呼ぶことにする。

1回目は次のようにする。

・出た目の数が1,2のときは、文字Aと書く。
・出た目の数が3,4のときは、文字Bと書く。
・出た目の数が5,6のときは、何の書かない。

2回目、3回目は次のようにする。

・出た目の数が1,2のときは、文字の列の右側に文字Aを1つ付け加える。
・出た目の数が3,4のときは、文字の列の右側に文字Bを1つ付け加える。
・出た目の数が5,6のときは、いちばん右側の文字を削除する。ただし、何も書かれていないときはそのままにする。

以下の問いでは、さいころを3回投げ終わったときにできる文字の列について考える。

(1)文字の列がAAAとなるさいころの目の出方は(ア)通りである。
文字の列がABとなるさいころの目の出方は(イ)通りである。

(2)文字の列がAとなる確率は(ウエ)/(エオ)であり、何も書かれていない文字の列となる確率は(カ)/(キク)である。

(3)文字の列の字数が3となる確率は(ケ)/(コサ)であり、字数が2となる確率は
(シ)/(スセ)である。また、文字の列の字数の期待値は(ソタ)/(チ)である。
ただし、何も書かれていないときの字数は0とする。


[解答とか解説]
(1)
081220_m5.jpg
AAAは明らかに三回とも1か2なので2×2×2=8通りです。

ABは一回5か6が出なければなりませんが、二回目以降に出ると文字が2回増えて文字が1回減るから1文字になってしまいます。

だから1回目5,6で2回目1,2でAになり3回目3,4でABになる方法で
2×2×2=8通りです。

(2)
081220_m6.jpg
Aになるのは結構色々な方法があります。

センター試験はチャート式とかでやるような定石を使うような数え方ではなく、普通に数え上げさせられることが多いです。
根性で数え上げる!って言うコツがわかってるだけで、全然かかる時間や正答率がかわってくると思います。

センター試験の数学は満点いけそうな人がここで一問くらいよく間違ってしまうから、落ち着いて何らかのルールに基づいて数え上げていきましょう。
オレも1問ぐらい間違えて198/200ぐらいでした。

5,6が出る回数で分けるルールで数え上げてみると

Aになるのは
さっき5,6が1回出るときは2回目以降は1文字になると書きましたが
5,6が1回は(○はAかBどちらでも良いと言う意味)

2回目が5,6の
→○→ →A
と3回目が5,6の
→A→A○→A
の場合で○は1,2,3,4の4通りだからそれぞれ
2×4×2=16通り

4×2×2=16通り


次に5,6が2回出るときは文字が増えるのは1回だけになるから文字は消えないようにしなければならないから
→ → →A
の1回目と2回目が5,6で3回目がAの時だけです。
これは
2×2×2=8
通りで全部で
16+16+8=40
で確率は全ての場合の総数は6^3だから
40/6^3=5/27


何も書かれてないのは
5,6が1回では1文字か2文字にしかならないから無理です。

5,6が2回では文字が増えるのが最後だと文字が残ってしまうので
最後の2回が5,6である
→○→ →
と1回目と3回目が5,6の
→ →○→
の場合でそれぞれ
4×2×2=16通りと
2×4×2=16通りです。

後は5,6が三回は明らかに何も書かれないようになるから
2×2×2=8通りです。
これはさっきと同じ数字の組み合わせなので確率は
5/27
です。


(3)
081220_m7.jpg
(3)はややこしそうでいて、AとBの対称性ですぐに出来ます。
センター試験では今までの問題はだいたい誘導になっています。
そう意識してセンターのコツをつかめば簡単に解けるようになったりします

文字3つは毎回1,2,3,4の4通りだから4^3通りで確率は4^3/6^3=8/27

文字2つはABは8通りなのでBAとAAとBBもそれぞれ確8通りで8×4=32通りです。
確率は32/6^3=4/27

文字1つはAの確率が5/27なのでBになる確率も5/27で結局10/27になります。

期待値だから文字0は別に出す必要ないから

期待値は

3×8/27+2×4/27+10/27=14/9
です。

(3)は普通センター試験では(1)(2)が誘導になってるはずなので過去問やりまくることで(1)と(2)が使えないか考えて気づける身体になって欲しいし、これに気づくと気づかないで大幅に正答率とかかる時間が分かれますが、やっぱり本番ではうへ~ってなってるので数え上げしまうとことも多いと思います。
その時は根性で正解しましょう


センター試験の過去問の解説




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