受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

指数関数と対数関数の最小値の問題、センター試験2008年度数学2Bの第1問の(1)
指数とか対数とかもうそんなん古いねん。

でも僕らには指数と対数しかなかった。

と言うことでセンター試験2008年の数学2Bの第一問の(1)をやります。


[問題]
実数x,yは
3^(1+log_10(x)) - 5^y=1…(*)
を満たしている。このとき

K=(5^y)/3 + 3^(-log_10(x))
の最小値を求めよう。

真数の条件によりx>(ア)である。
ただし、対数log_a(b)に対し、aを底といい、bを真数という。次に、(*)より
5^y=(イ)・3^(log_10(x))-1
である。
z=3^log_10(x)とおくと、5^y>0であるから、zのとり得る値の範囲は
z>(ウ)/(エ)
となる。さらに
K=z + (オ)/z - 1/(カ)
となるから、Kはz=(キ)のとき、最小値(ク)/(ケ)をとる。
このとき、x=(コ)、y=log_(サ)((シ))である。


[解答とか解説]
いきなり伝説の真数の条件ですね。
これは大げさなもんじゃなくて単にlogの中が正なだけでlog_10(x)では
x>0
ですが、大げさではないけどこれを忘れて解けないことが多々ありますので注意してください。

(*)を5^yについて
5^y=3^(1+log_10(x)) - 1
で、問題文では5^y=(イ)・3^(log_10(x))-1となってるから3^(1+log_10(x)) を変形させて(イ)・3^(log_10(x))にしなければいけません。

これは指数法則
3^(x+y)=3^x・3^y
を使って
3^(1+log_10(x))=3・3^log_10(x)
とやります。

そんなに対数や指数の問題は難しくは無いんですが、計算法則の慣れが必要です。
理屈抜きで
a^(x+y)=a^x・a^y
(a^x)^y=a^(xy)
とか
log_a(xy)=log_a(x)+log(y)
log_a(x^y)=ylog_a(x)
log_a(R)=log_b(R)/log_b(a)
とかを具体的な計算問題で剥離骨折するくらい練習して身体で覚えてください。


この問題は
K=(5^y)/3 + 3^(-log_10(x))
の最小値を求めよう。
と書いてますが、これはよくやる指数関数や対数関数をある文字で置き換えて考える方法を用いるパターンで
z=3^log_10(x)
と置くと書いてます。

それでこのパターンの解き方は5^yの方は消去するのが定石です。
この時、注意しなければ
5^y>0
と言う条件を見落とすことです。

K=(5^y)/3 + 1/z、5^y=3z - 1、5^y>0

K=(3z - 1)/3 + 1/z、5^y=3z - 1、3z-1>0

と言うように文字を消去する時は、その文字の条件にも代入してください。

この問題では誘導があって5^y>0にも5^y=3z - 1を代入して3z-1>0からz>1/3でKにも5^y=3z - 1を代入して、3^(-log_10(x))=3^(-z)=1/(3^z)に注意して
K=(3z - 1)/3 + 1/z
=z + 1/z - 1/3
となります。

このz+1/zと言うたら数学3までやってしまうと微分してまいそうですが、これは
A+1/A
のような形を見かけると相加平均相乗平均の関係で最小値をだしてください。
相加平均相乗平均は実はよく使います。
使えなさそうな問題でも無理やりこの相加平均相乗平均の形に出来て簡単に解けることもよくあります。
だから相加平均相乗平均の関係は等号成立とあわせてしっかり覚えてください。


相加平均相乗平均では正でないといけないですが、z>1/3だから大丈夫で

K=z + 1/z -1/3≧2√(z・1/z) - 1/3=2-1/3
=5/3

等号成立は
z=1/zよりz^2=1でz>1/3からz=1です。


だから
kは5/3以上でz=1の時にK=2/3だからKの最小値は5/3です。

後はz=1をx,yに直します。

z=3^log_10(x)から
1=3^log_10(x)
でlog_3をとって
log_3(1)=log_10(x)
から
0=log_10(x)
で10を0乗すると1になるから(log_10(1)=0)
x=1
また
5^y=3z - 1より
5^y=2だから両辺5を底とする対数をとって
log_5(5^y)=log_5(2)

ylog_5(2)
です。


やっぱりこの問題はひたすら対数とか指数の計算の慣れです。
二次試験の勉強をしてると、対数や指数があまり出ずに忘れてしまってる危険性があるので数学が得意でもセンター試験の前は過去問とかたくさんやって体を慣らしていきましょう。

センター試験の過去問の解説




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