受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角関数の問題、センター試験2008年度数学2B第一問の(2)
センター試験2008年度の第一問の(2)の三角関数の問題です。

[問題]
aを正の定数とする。点Oを原点とする座標平面において、中心がOで、半径が1の円と半径が2の円をそれぞれC1,C2とする。
θ≧0を満たす実数θに対して、角aθの動径とC1との交点をPとし、角π/2 - θ/3の動径とC2との交点をQとする。ここで、動径はOを中心とし、その始線
はx軸の正の部分とする。

(1)θ=xのとき、Qの座標は(√(ス),(セ))である。

(2)3点O,P,Qがこの順に一直線上にあるような最小のθの値は
(ソ)π/((タ)a+(チ))
である。
θが
0≦θ≦(ソ)π/((タ)a+(チ))
の範囲を動くとき、円C2において点Qの軌跡を弧とする扇型形の面積は
(ツ)π/((テ)a+(ト))
である。

(3)線分PQの長さの2乗PQ^2は
(ナ) - (ニ)sin( ((ヌ)a+(ネ))x/(ノ) )
とおき、f(x)の正の周期のうち最小のものが4πであるとすると。
a=(ハ)/(ヒ)である。


[解答とか解説]
081226_m1.jpg

まずは図を書きましょう。

(1)原点からの距離がrで、原点と結んだ直線がx軸正方向とαの角をなす時その点は
(rcosα,rsinα)
とあらわせました。
むしろ三角関数はそういうものでした。

点Qは原点から距離が2で角π/2 - θ/3の動径との交点だからQの座標は
(2cos(π/2 - θ/3),2sin(π/2 - θ/3))
でθ=πを代入すると
π/2 - π/3=π/6だからcos(π/6)=(√3)/2,sin(π/6)=1/2
だから
Q(√3,1)

(2)3点O,P,Qがこの順に一直線上にあると言う状態は、角aθの動径と角π/2 - θ/3の動径が重なる時で数式にあらわすとこの二つの角の差がnを整数として2nπとなるときです。

aθ - (π/2 - θ/3)=2nπ
これをθについて解いてa>0だから
θ=(3π+12nπ)/(6a+2)
です。
a>0は
(6a+2)θ=(3π+12nπ)のとこで6a+2で割る時に6a+2>0と言うところで使ってます。

θ≧0だからnが-1以下だとθは負になるのでn=0の時が最小で
3π/(6a+2)

081226_m2.jpg

θが0≦θ≦3π/(6a+2)を動く時は、Qはπ/2 - θ/3が
π/2 → π/2 - π/(6a+2)
って変化するから扇形の中心角はπ/(6a+2)で扇形の面積は
1/2×半径×半径×中心角より面積は

1/2×2×2×π/(6a+2)=π/(3a+1)

センター試験なのでいちいちπ/2-θ/3の範囲を求めて計算してたら少し時間がかかってしまうので常に工夫を心がけてください

(3)点Pの座標は角aθの動径と半径1の円の交点なので
(cos(aθ),sin(aθ))
でした。
点Qは(2cos(π/2 - θ/3),2sin(π/2 - θ/3))で更にsin(π/2-X)=cosXとcos(π/2-X)=sinXを使って(2sin(θ/3),2cos(θ/3))で、PQ^2は(x座標の差)^2+(y座標の差)^2だから

(2sin(θ/3)-cos(aθ))^2 + (2cos(θ/3)-sin(aθ))^2
=5-4(sin(θ/3)cos(aθ)+cos(θ/3)sin(aθ))
=5-4sin(θ/3+aθ)
=5-4sin((3a+1)θ/3)

(4)
081226_m3.jpg
f(x)=5-4sin((3a+1)x/3)
の正の周期の最小のものって言うのは例えばsinXなら2πとか-4πとか12πとか色々周期ありますがこのうち正で最小のものは2πと言うことです。
f(x)はそれが4πなわけですがsinXと言う関数は2πなのでx=4πの時にXのとこが2πになれば良いことになります。
(3a+1)4π/3=2π
これをといて
a=1/6です。

センター試験の過去問の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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