受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

微分積分の問題、センター試験2008年度数学2Bの第2問
さっきカツハイシライス食べてきたのでセンター試験2008年の数学2Bの第二問をやります。

[問題]
aを正の実数として、xの2次関数f(x),g(x)を
f(x)=x^2/8
g(x)=-x^2+3ax-2a^2
とする。、また、放物線y=f(x)およびy=g(x)をそれぞれC1,C2とする。

(1)C1とC2の共有点をPとすると、点Pの座標は((ア)a/(イ),(ウ)a^2/(エ))である。
また、点PにおけるC1の接線の方程式は
y=(オ)ax/(カ) - (キ)a^2/(ク)
である。

(2)C1とx軸および直線x=2で囲まれた図形の面積は(ケ)/(コ)である。
また、C2とx軸の交点のx座標は(サ),(シス)であり、C2とx軸で囲まれた図形の面積は(セ)a^3/(ソ)である。

(3)0≦x≦2の範囲で、二つの放物線C1,C2と2直線x=0,x=2で囲まれた図形をRとする、
Rの中で、y≧0を満たすすべての部分の面積S(a)は

0<a≦(タ)のとき、S(a)=-(セ)a^3/(ソ) + (ケ)/(コ)

(タ)<a≦(チ)のとき
S(a)=-(ツ)a^3/(テ) + (ト)a^2 - (ナ)a + (ニ)

(チ)<aのとき S(a)=(ケ)(コ)
である。
しあがって、aがa>0の範囲を動くとき、S(a)はa=(ヌ)/(ネ)で最小値(ノ)/(ハヒ)をとる。



[解答と解説]
(1)C1とC2の共有点は問題文から一つのようです。
x^2/8=-x^2+3ax-2a^2とすると
(3x-4a)^2=0
になるからx=4a/3でf(4a/3)=2a^2/9
でP(4a/3,2a^2/9)です。

点Pにおける接線はf'(x)=x/4だから傾きf'(4a/3)=a/3で点P(4a/3,2a^2/9)を通る直線だから

y=a/3(x-4a/3)+2a^2/9

y=ax/3-2a^2/9

です。

(2)
081228_m1.jpg
図を書いて積分します。
C1とx軸および直線x=2で囲まれた図形の面積は図から
∫(0,2)f(x)dx=∫(0,2)x^2/8dx
=[x^3/24](0,2)
=1/3

C2とx軸の交点のx座標はg(x)=0とすると
-x^2+3ax-2a^2=0

(x-a)(x-2a)=0
からx=a,2aです。
C2とx軸で囲まれた図形の面積は、これはお決まりの
∫(α,β)(x-α)(x-β)dx=-(α-β)^3/6
の形の計算で
∫(a,2a)g(x)dx=∫(a,2a)(-x^2+3ax-2a^2)dx
=-∫(a,2a)(x-a)(x-2a)dx
=-(-(2a-a)^3/6)
=a^3/6

∫(α,β)(x-α)(x-β)dx=-(α-β)^3/6を使う場合は例えばある二次関数h(x)で
h(x)=0の解がs,tでx^2の係数がbの時
h(x)=bx^2…
=b(x-s)(x-t)
のはずだから
∫(s,t)h(x)dx=b∫(s,t)(x-s)(x-t)dx
として使うと明確な感じがします。

(3)
081228_m2.jpg
まずは図を描いてみてください。
問題文がややこしいですが図を描くと理解出来るようになってきます。

どうも問題文を見るとaの値によって場合分けが必要そうです。

g(x)のx軸との交点がaと2aですが、aを変化させてどうなるか考えてみましょう。

ですがその前に問題文の解答欄を観察すると、わかりやすくなります。
そして今までの問題は誘導になってることを考えると
(チ)<aのとき S(a)=(ケ)(コ)
はaが入らないので、∫(0,2)f(x)dx=1/3を入れると思われます。
これに対応する図はg(x)のy≧0の部分が全部x=2より右側にあるときです。
0<a≦(タ)のとき、S(a)=-(セ)a^3/(ソ) + (ケ)/(コ)
を見ると、(ケ)(コ)は先ほどの1/3として残り入るのは-∫(a,2a)g(x)dx=-a^3/6が入りそうです。
これはg(x)のy≧0の部分が全部x=2より左側にあるときです。

と言うことは
(タ)<a≦(チ)のとき
S(a)=-(ツ)a^3/(テ) + (ト)a^2 - (ナ)a + (ニ)
は式の複雑さからg(x)のy≧0の部分がx=2によって分断されてる時なのではないかって予想されます。
こうやって解答欄を先に見て、今までの問題が誘導ではないか?ってことを考えると非常に予想が立ちやすくなります。
で、もう少し厳密にやるとまずaは0より大きいですが、十分に0に地近いとx=0から2の間にg(x)が入り込みます。
この場合は(2)で求めた∫(0,2)f(x)dxから∫(a,2a)g(x)dxをとりのぞけばオッケーです。

そこからaを大きくしていくとg(x)の山の部分にx=2が食い込んできます。
言わゆる食い込み天使ですね。

ちょうど2a=2よりa=1がが境目です。
だからさっきまではg(x)の部分を取り除く積分の計算がaから2aまででしたが、それがaから2までになります。

だから∫(0,2)f(x)dxから∫(a,2)g(x)dxをとりのぞきます。

そしてさらにaを大きくするとx=0から2までの区間からg(x)はいなくなりなす。
a=2が境目です。

これは単に∫(0,2)f(x)dxの1/3です。


以上から
0<a≦1の時、
S(a)=∫(0,2)f(x)dx-∫(a,2a)g(x)dx
=-a^3/6+1/3

1<a≦2
S(a)=∫(0,2)f(x)dx-∫(a,2)g(x)dx
=-5a^3/6+4a^2-6a+3

2<aの時
S(a)=∫(0,2)f(x)dx
=1/3

後はS(a)の最小値を求めるだけですが、これがいかにもセンター試験らしいところです。
やり方はS(a)のグラフを書きます。
わかりにくい関数は

1<a≦2の部分の
S(a)=-5a^3/6+4a^2-6a+3
とこなのでここを微分します。

081228_m3.jpg

1<a≦2の時
S'(a)=-5a^2/2+8a-6
=-1/2(5a-6)(a-2)

1<a≦6/5で減少
6/5≦a≦2で増加です。
だからグラフをかくとa=6/5で最小になってますが
S(6/5)を求めろって言うのがセンター試験らしいですね。

だから数学2Bは時間が足りないとよくみんな思うと思います。

これは
S'(6/5)=0だから
-5a^2/2+8a-6=0⇔5a^2=16a-12
を使ってS(a)=-5a^3/6+4a^2-6a+3に代入して字数下げとかしてもたぶん反対にややこしくなります。
素直に計算するしかないか…
って悩んでる暇があったらぶーわー計算した方が早いから結局ごり押しで計算です。

それで最小値は
S(6/5)=3/25とわかりました。

センター試験の過去問の解説




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