受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

微分の問題、東大2008年度文系第1問
さあて、センター試験の勉強してますか?

そこをあえて東大の文系2008年の第1問を解説します。

[問題]
081228_m4.jpg
0≦α≦βをみたす実数α、βと2次式
f(x)=x^2-(α+β)x+αβについて
∫(-1,1)f(x)dx=1
が成立しているとする。
このとき定積分
S=∫(0,α)f(x)dx
をαの式で表し、Sがとりうる値の最大値を求めよ。


[解答と解説]
x^2-(α+β)x+αβこれは…(x-α)(x-β)だから
∫(α,β)(x-α)(x-β)dx=-(β-α)^3/6
を使うのでは!?
って無理矢理使うと
081228_m5.jpg
単に血吐くだけです。

素直に
∫(-1,1){x^2-(α+β)x+αβ}dx=1
をそのまま計算したら
αβ=1/6
が簡単にでます。


東大はそんな小手先のテクニックを覚えてこいって言う問題ではなく処理能力を求めてきます。
そしたら、暗記はいらないのかと言えばそうではなくあらゆる東大の過去問の解き方を暗記すればかなりコツがつかめます。


そして
081228_m6.jpg
S=∫(0,α)f(x)dx
=∫(0,α){x^2-(α+β)x+αβ}dx

=-α^3/6+α^2β/2

でαβ=1/6を代入して
=-α^3/6+α/12

S'=-1/2(α-1/√6)(α+1/√6)
だから増減表を書いて
α=1/√6の時最大値(√6)/108とやると、今までやってきたこと何もかもを失います。

運動会で頑張って徒競走して2等になった思い出とかもかも失います。


こういう問題をやったことあると思います。
081228_m7.jpg
x+y=2,x≧0,y≧0の時d=x^2+y^2の最大値を求めよ

これはx+y=2からy=2-xでこれをd=x^2+y^2だけでなくy≧0にも代入して0≦x≦2って範囲をだして
d=2x^2-4x+4
=2(x-1)^2+2
でx=0と2の時、最大値4をとるとやりました。

これは
x+y=2,x≧0,y≧0、d^2=x^2+y^2

y=2-x,x≧0,2-x≧0、d^2=x^2+(2-x)^2
って言うように同値変型をやると忘れににくいです。

だからこの問題ではαβ=1/6よりα≠0ですが
αβ=1/6,0≦α≦β,S=-α^3/6+α^2β/2

β=1/(6α),0<α≦1/(6α),S=-α^3/6+α/12

β=1/(6α),0<α≦√6,S=-α^3/6+α/12

と同値変型をして、各文字の条件を見落とさないようにしましょう。

東大は第一問は簡単なんですが、たぶん0≦α≦βに代入するとこがポイントでこれを忘れてしまうと余り点数が無いかもしれません。

高校数学の入試問題などの解説

東京大学の入試の数学の過去問の解説


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