受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

数列の漸化式の問題、センター試験2008年度数学2Bの第3問
誰が見てるんかわからんけど、とりあえずセンター試験の解説をやり出したら最後までやるしかない。
オレはそういう性格やねん。


[問題]
(1)数列{a_n}は初項が7,公差が-4の等差数列とする。数列{a_n}の一般項は
a_n=(アイ)n + (ウエ)
であり、初項から弟n項までの和は
∑(k=1~n)a_k=(オカ)n^2 + (キ)n
である。
(2)数列{b_n}は、第n項が
b_n=pn^2-qn-r
と言うnの2次式で表され
b_(n+1) - 2b_n = (オカ)n^2 + (キ)n (n=1,2,3,…) …①
を満たすとする。このとき
p=(ク),q=(ケ),r=(コ)
であり、b1=(サシ)である。

さらに、次の条件によって定まる数列{c_n}を考えよう。
c_1=1
c_(n+1) -2c_n=(オカ)n^2 + (キ)n (n=1,2,3,…) …②
①と②より、d_n=c_n-b_nとおくと
d_(n+1)-(ス)d_n=0 (n=1,2,3,…)
が成り立つ。これより、数列{c_n}の一般項は
c_n=(セ)・(ソ)^(n-1) + (ク)n^2 - (ケ)n - (コ)
である。
数列{c_n}の初項から第n項までの和∑(k=1~n)c_kは
(タ)・(チ)^n + (ツ)n^3/(テ)- (ト)n^2/(ナ) - (ニヌ)n/(ネ) - (ノ)
となる。


[解答と解説]
(1)
初項a_1公差dの等差数列{a_n}の一般項は
a_n=a_1+(n-1)d
です。
n-1になるとこが若干ややこしいですが、a_1の1とn-1でnになると言う感じです。

a_n=7+(n-1)(-4)
=-4n+11


初項から末項までの和は

公差を○一つ分、初項の大きさを●●として

初項↓
●●
●●○
●●○○
●●○○○

●●○○○○○○
末項↑

のように等差数列を台形と考えると、初項●●から末項●●○○○○○○までの和は台形の面積
1/2×(上底+下底)×高さ
を考えて
1/2×(初項+末項)×項数
とイメージしたらわかりやすいと思います。


問題に戻ってa_n=-4n+11の初項から弟n項までの和は

∑(k=1~n)a_k=1/2×(a_1+a_n)×n
=1/2×(7+-4n+11)×n
=-2n^2+9n


(2)
b_(n+1) - 2b_n = (オカ)n^2 + (キ)n (n=1,2,3,…) …①
を満たすとする。
これはどうやって求めるんや…って悩んでたら(1)の
∑(k=1~n)a_k=(オカ)n^2 + (キ)n
と同じ数字なだけですね。
これがセンター試験の難しいところです。

b_(n+1) - 2b_n =-2n^2 + 9n

b_(n+1) - 2b_n にb_n=pn^2-qn-rを代入して

p(n+1)^2-q(n+1)-r-2pn^2+2qn+2r
=-pn^2+(2p+q)n+p-q+r
で-2n^2 + 9nと係数を比較して
p=2
2p+q=9
p-q+r=0
を解いて
p=2,q=5,r=3

b_n=2n^2-5n-3
だから
b_1=-6

それで
c_(n+1) -2c_n=(オカ)n^2 + (キ)n
ですが、これはどうやって求めるんやって悩んでたら(1)の
∑(k=1~n)a_k=(オカ)n^2 + (キ)n
と同じ数字なだけですね。
これがセンター試験の難しいところです。

d_n=c_n-b_nと言うことなので、
b_(n+1) - 2b_n = (オカ)n^2 + (キ)n (n=1,2,3,…) …①
c_(n+1) - 2c_n =(オカ)n^2 + (キ)n (n=1,2,3,…) …②
は右辺が一緒なので②-①を考えて
d_(n+1) - 2dn = 0
です。

d_nはd_1=c_1-b_1=1+6=7だから初項7で、公比2の等比数列だから
d_n=7・2^(n-1)
だからd_n=c_n-b_nから
c_n-b_n=7・2^(n-1)
でb_n=2n^2-5n-3を代入して
c_n=7・2^(n-1)+2n^2-5n-3

最後に∑(k=1~n)c_kは頑張って普通に計算して

∑(k=1~n)r^(k-1)=(1-r^n)/(1-r)
∑(k=1~n)k=1/2・n(n+1)
∑(k=1~n)k^2=1/6・n(n+1)(2n+1)
を使って

7(2^n-1)+1/3・n(n+1)(2n+1)-5/2・n(n+1)-3n
=7・2^n+2n^3/3-3n^2/2-31n/6-7


この問題は

e_(n+1) -2e_n=-2n^2 + 9n
って数列があった時に
b_(n+1) - 2b_n =-2n^2 + 9n(b_n=2n^2-5n-3)
だから
e_(n+1) -2e_n=-2n^2 + 9nはe_n=b_nと言う一つの解があって(特殊解とか言う)これを見つけると差をとると
{e_(n+1)-b_(n+1)}-2{e_n-b_n}=0
となって等比数列{e_n-b_n}が出来て解けるって言う漸化式でよくやるパターンです。

これは知らず知らずよく使っていて
a_(n+1)=3a_n+5…(*)
とか言う問題があったらa_nのとこをxに置き換えて
x=3x+5…(**)

x=-5/2

a_n=x(全てのnでa_nはx=-5/2)
が一つの解になっていて、(**)と(*)の差をとることで
a_(n+1)-x=3(a_n-x)
と言うように数列{a_n-x}が等比3の等比数列になって解けるようになっています。


センター試験の過去問の解説




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