受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

東京大学2012年度文系第4問、二次関数の積分の問題の解説
もうちょっと成績あげるにはお兄ちゃんが守ったるからなの精神が必要やろな。


それでは東京大学2012年度文系の第4問の解説を書きます


[問題]
toudai2012bu41.jpg

座標平面上の放物線Cをy=x^2+1で定める。s,tは実数としt<0を満たすとする。点(s,t)から放物線Cへ引いた接線をl_1,l_2とする。

(1)l_1,l_2の方程式を求めよ。
(2)aを正の実数とする。放物線Cと直線l_1,l_2で囲まれる領域の面積がaとなる(s,t)を全て求めよ。


[解答と解説]
これは放物線と二つの接線で囲まれた部分の面積の問題やな。
toudai2012bu42.jpg


接線の交点は二つの接点の中点になってて

面積は二次関数の2次の係数をaとすると

|a|(β-α)^3/12

ってやつですね。


まずこの証明の流れはパっと出るようになってるかと言うところですね。


一般的にy=ax^2+bx+c(=f(x))(a>0)でP(p,q)から2接線を引引いてやってみますか

中点であることは微分して

y'=2ax+b

で接点をA(α,(α)),B(β,f(β))として

l_A:y=(2aα+b)(x-α)+aα^2+bα+c
l_B:y=(2aβ+b)(x-β)+aβ^2+bβ+c

ってやってy消去してもええねんけど

スマートにやるには

toudai2012bu43.jpg

接点のx座標の方程式を作ってその解がα,βである

と言えばええねん。

だからT(t,f(t))における接線を考えて

y=(2at+b)(x-t)+at^2+bt+c

これがP(p,q)を通るとすると

q=(2at+b)(p-t)+at^2+bt+c

tで整理して

at^2-2apt-bp-c+q=0

この解がt=α,βより解と係数の関係から
α+β=2p
つまり
p=(α+β)/2
で中点とわかります。


さらには面積も直線の方程式は求めず

二次関数の2次の係数と直線との接点がわかっていれば

f(t)-l_A=a(x-α)^2

ってわかるから

toudai2012bu44.jpg

∫(α,(α+β)/2){f(x)-l_A(x)}dx+∫((α+β)/2,β){f(x)-l_B(x)}dx

=∫(α,(α+β)/2)a(x-α)^2dx+∫((α+β)/2,β)(x-α)^2dx
=[a(x-α)^3/3](α,(α+β)/2)+[a(x-β)^3/3](α+β)/2,β)
=1/3×1/8×(β-α)^3+1/3×1/8×(β-α)^3
=(β-α)^3/12


ってすらすらとやれば


すごい…

今のどうやったの?

って聞かれることになります。


そしたらもうこっちのもんです。

あなたもテクニシャンになってください。



これを身につければ、接線と放物線に囲まれる面積の計算の仕方に強くなるしな。


と言うことで解答に入っていこか。

(1)
toudai2012bu45.jpg

y'=2x
C上の点P(p,p^2+1)における接線
y=2p(x-p)+p^2+1
を考えてこれが(s,t)を通ると

t=2ps-p^2+1

p^2-2sp+t-1

これで解を求めて代入したら完成ですね。


ここで間違えたら、たぶんイチジクの刑やろな。


(2)
toudai2012bu46.jpg

α=s-√(s^2-t+1)
β=s+√(s^2-t+1)

とおいて
s=(α+β)/2

と言うように中点とやってしまって、一気に(β-α)^3/12の式にもっていきましょう


それで

a=(2√(s^2-t+1))^3/12

やから

s^2-t+1=(9a^2/4)^(1/3)

や!

って答えると


半月後

toudai2012bu47.jpg

いつものように何も変わらない日々が続くことになります。


もうウツですね。


言うても東大の問題やからな。

これで終わるわけがない

聞き方に注意してください、



『s,tを領域の面積がaであらわせ。』

じゃなくて

『領域の面積がaとなる(s,t)を全て求めよ。』

ですよ。


こういう意味わからん言い方してくるのが東大やねん。

toudai2012bu48.jpg

これはな書いてるようにaの値によっては(s,t)がなかったりするねん。


だからaの値によって場合分けして

具体的に(s,t)はどういうものか書いていけばええねん。


この問題の意味のわからなさは過去問自体で勉強します



それではどうやtt整理したらええかと言うと
t<0
やけどtはsによってあらわされるので、

sを独立変数にしてtをその従属変数(t=g(s)みたいな)に整理していけばわかりやすいです。

toudai2012bu49.jpg

t<0
s^2-t+1=((9/4)a^2))^(1/3)


t=s^2+1-((9/4)a^2))^(1/3)
s^2+1-((9/4)a^2))^(1/3)<0

t=s^2+1-((9/4)a^2))^(1/3)
-((9/4)a^2))^(1/3)+1<s<((9/4)a^2))^(1/3)-1

とやっとけばわかりやすいな。


そしたらtはsによって勝手に決まるからsだけ考えたらええねん。

すると

((9/4)a^2))^(1/3)-1=0となるaは2/3で

aがこれ以下やとsの範囲はないし

aが3/2より大きいときはsの範囲はあるから

t=s^2+1-((9/4)a^2))^(1/3)
-((9/4)a^2))^(1/3)+1<s<((9/4)a^2))^(1/3)-1

って答えといたらオッケーです。


東京大学の入試の数学の過去問の解説





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東京大学2012年度文系第2問、図形と方程式の問題の解説
オレらは紙芝居の子らやな

意味わからんところで東京大学2012年度文系第二問の解説を書きます


[問題]
toudai2012bu22.jpg

実数tは0<t<1を満たすとし,座標平面上の4点O(0,0),A(1,0),B(1,0),C(t,0)を考える。また線分AB上の点Dを∠ACO=∠BCOとなるように定める
tを動かしたときの三角形ACDの面積の最大値を求めよ。


[解答と解説]

∠ACO=∠BCOの扱いですが、

toudai2012bu21.jpg

これはモンキーハンティングの問題です。


まず猿が滑り台滑ってるとこを反射させてお尻を狙う時点でおかしいし

そもそもモンキーハンティングの意味が全然違うことを確認してもらったところで

toudai2012bu23.jpg

これは反射なので対称移動させると直線になることをよく使います。

だからDをx軸について対称移動して
AD'とx軸との交点がCです。

これを覚えて帰ってください


それか単純に傾きの大きさが等しいと考えて
tan∠ACO=tan∠BCD

1/t=y/(x-t)
とかでもいいです。


そしたらやっていこか

toudai2012bu24.jpg

点D(x,y)として

点Dをx軸について対称移動した点をD'とすると点DはAB上より

y=-x+1…①
直緯線AC:y=-1/t(x-t)上に点D'(x,-y)があるので代入して
-y=-1/t・(x-t)…②

後はこれを単純に解いて
x=2t/(1+t),y=(1-t)/(1+t)



ここまではあれやな。

toudai2012bu25.jpg

面積も色々やり方ありますが例えば

△ACD=△OAB-△OAC-△DCB

とかそんなに問題なく出せると思います

後はあれやから、写真みといてください

それでまとめていくと

(t-t^2)/(1+t)

と言う式が出ます。


ここが東大やねん。

だいたい、東大では

相加平均相乗平均→最大値や最小値を出す

のパターンやねん。


これも相加平均相乗平均の関係なんちゃうか。

1+t>0やから

t+1と1/(t+1)を作ればええねん。

分子のt-t^2を(t+1)で割ればええねんけど

t-t^2=-(t+1)^2+t+2t+1
=-(t+1)^2+3(t+1)+1-3
=-(t+1)^2+3(t+1)-2

ってt+1で整理していく方法もあります。


すると

-(t+1+2/(t+1))+3

で相加平均相乗平均の関係が使えるな。

toudai2012bu26.jpg

t+1>0,2/(t+1)>0に注意してください。

(t+1+2/(t+1))≧2√2より
-(t+1+2/(t+1))≦-2√2ですね。

しかし
△ACD≦-2√2+3
だけではまだただの大小関係です。


この大小関係で最大値が-2√2+3と言うためには
等号成立をする
って言うことが絶対に必要です。


mが最小値であると言うためには

○m以上
○mの値をとる

と言えばええねん。

相加平均相乗平均の関係を使って最小値mを出すときもこの論法やから

等号成立を言うところが最重要なわけやな


例えばx+1/xの最小値は

定義域はx>0では
x+1/x≧2√x/x=2
でx=1が等号成立やから最小値2やけど

x≧5やったらx+1/xの最小値は余裕で2違うからな。
x+1/x≧2
はただの大小関係なだけやねん。


だから等号成立は
t+1=2/(t+1)
を解いて0<t<1に注意して
t=-1+√2
のときに最大値-2√2+3をとると言えます




東大ではしょっちゅう」

(t-t^2)/(1+t)

のような値の最大値とか求めさせれます。


数学3の微分知ってる人が有利になるような計らいなのかどうは知りませんが。

と言うことで微分しても全然大丈夫です。


数学2Bまでの範囲なら

だいたい相加平均相乗平均でできますが

逆手流や逆像法もよく使いますね

toudai2012bu27.jpg

k=(1-t^2)/(1+t)
とおいて
t→kではなく
k→tの形にして

t^2+(k-1)t+k=0

として0<t<1となるtが存在するようなk

つまりは0<t<1で解を持つ条件を考えます

一応やってみると

toudai2012bu28.jpg

f(t)=t^2+(k-1)t+k
とおいて
f(t)=(t+(k-1)/2)^2+k-(k-1)^2/4
と平方完成しておいて
f(0)=k
f(1)=2k
でこれはたまたま同符号やから

判別式d≧0
f(0)>0,f(1)>0
0<軸<1

の形だけになります。

これを整理したら出来上がりです。


東京大学の入試の数学の過去問の解説





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東京大学2012年度文系第一問、二次方程式の問題の解説
久しぶりにふにゅるか

東京大学2012年度の文系第一問の問題です


これはまさに使ってくれと言わんばかりの

東大ではほんま出まくる典型的な処理で

『逆手流』

『逆像法』
など言われてるやつ


オレは

『だから僕は独立変数と従属変数に同値変形して文字消去する』

と言っています


ながすぎるわ!


関連→同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)


[問題]
toudai2012bu11.jpg

座標平面上の点(x,y)が次の方程式を満たす
2x^2+4xy+3y^2+4x+5y-4=0
このとき,xのとりうる最大の値を求めよ


[解答と解説]

よっしゃ、これはxをyであらわして微分やな

toudai2012bu12.jpg

xについて解いて

x={(-2y-2)±√(-2y^2-2y+12)}/2

これを微分して

dx/dy=-1±(-4y-2)/4√(-2y^2-2y+12)



17分後…



toudai2012bu13.jpg

コーラのふりかけあいになります


『だから僕は独立変数と従属変数に同値変形して文字消去する』

を知らないとコーラのふりかけあいになるわけです。


と言うことで

『だから僕は独立変数と従属変数に同値変形して文字消去する』

を使いたいと思います



これはxの範囲が欲しいのでy必要ありません

yを消去したらええねん。


yを消すときって

y=…

の形にしたやんな


だから

yが決まればxが決まる

と考えるのではなく

xが決まればyが決まる

と考えてyで整理するねん

toudai2012bu17.jpg

3y^2+(5y+4x)y+2x^2+4x-4=0

こうやってyについて整理すると

y=(-5-4x)±√(-8x^2-8x+73)/6

って解くようなもんです


そしたらxの定義域は

-8x^2-8x+73≧0

つまり判別式が0以上であればええわけやな

toudai2012bu18.jpg

そうすると
その定義域に応じてxが決まればyが1つや2つと言うように何個が決まるかもしれんけど

1つ以上は出てくるやんな


x=x1と入れてy1,y2…ってyが何個が出てきても

そのうちの1つy=y1とか入れれば、

元のx=x1の値は出てくるはずやな

つまり

-8x^2-8x+73≧0

であればさえあればyは勝手に存在するから、yのことについては考えなくてよくなるねん。

これが

『だから僕は独立変数と従属変数に同値変形して文字消去する』

です


もうええわ!


とりあえず仕上げよか


toudai2012bu19.jpg

yが存在するようなxの範囲は判別式Dとして

D=(5+4x)^2-4・3(2x^2+4x-4)≧0

これを解いて
(-2-5√6)/4≦x≦(-2+5√6)/4

で最大値は(-2+5√6)/4

最小値は(-2-5√6)/4



ちなみに最初やった微分でも出来なくもないです。

と言うより理系なら、これくらいの処理は出来た方がええやろな。

参考に載せておくと

toudai2012bu14.jpg
toudai2012bu15.jpg
toudai2012bu16.jpg

後は面倒臭いから画像を見といてください




東京大学の入試の数学の過去問の解説





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