受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

東京大学2016年度理系第1問、不等式の問題の解説
東京大学2016年度理系第一問を解説します。

ちょっと久しぶりやな。
東京に来てから更新初かもしれん。

あれからオレたちは、ずいぶん遠くまで来てしまったような気がする。

東京に来て、メイドカフェにも行くようにもなった。

こうやってオレたちは何か大切なものを失って…

ええから、はよ解説しろや!



[問題]
20160605162617e3c.jpg

eを自然対数の底、すなわちe=lim(t→∞)(1+1/t)^tとする。すべての正の実数xに対し、次の不等式が成り立つことを示せ。
(1+1/x)^x<e<(1+1/x)^(x+1/2)



[解答と解説]
まず何をしたらよいのかやな。

不等式の証明としては、一番最初の選択肢としては微分とかして解析的に解くやな。

代数的に解くと難しいものも、ごり押しで解けてしまったり、むしろ簡単になることもあるからな。
しばいて何とかなるんやったら、しばいとけばええやろみたいな。


ただ、底と指数の両方に変数があるからこういうときは似たような関数の微分
x^xの微分はどうしたかと言うと

対数微分しました。

logy=xlogx
これで両辺xで微分して
y'/y=logx+1
って出来るやろ。

そういう思い出あるやん。


オレたちはそういう大切なものを失ってきたわけや。


まあf(x)^g(x)でもe^g(x)log(f(x))ごり押しで微分できるけど、それやったら対数とったらええやろって話になるな。


と言うことで正なことをことわってから対数をとって微分やな。

20160605162619901.jpg

まあ対数微分しなくても、対数とったら不等式を証明してもええやろな。

log(1+1/1x)で微分するよりも、log(x+1)-logxにしてから微分の方が少しだけ楽かもしれん。

f(x)=xlog(1+1/x)
=x(log(x+1)-logx)
一回微分すると

f'(x)=log(x+1)-logx-1/(x+1)

よくわからんから、これもう一回微分したらlogが消えるから何とかなりそうやな。

f''(x)=1/(x+1)-1/x+1/(x+1)^2
=-1/(x(x+1)^2)<0

でf'(x)単調減少


2回微分しなくてもグラフで考えても出来るたみたいやけどな。


201606051626207c2.jpg

単調減少でx→0やx→∞を考えてみるとええやろな。
x→∞でf'(x)→0やから
f'(x)>0
でf(x)は単調増加ですね。

それでグラフ描くみたいに
x→∞でf(x)→loge=1
やからf(x)<1やな。


そしたら調子乗って同じように右側もやろか。

20160605162622189.jpg

g(x)=(x+1/2)log(1+1/x)

g'(x)=log(x+1)-logx-(x+1/2)/(x(x+1))
同じように微分して


20160605162624c2b.jpg
ぶるえ~!!!

ってその場で血吐いて後ろに倒れないでくださいね。

邪魔やからな。


これくらいやったら全然計算するから、計算してください、

特に関東の大学は計算がややこしくなりやすいねん。


まあこれもグラフを考えても出来るみたいやけどな。


g''(x)=1/(2x^2(x+1)^2)>0

これでg'(x)単調増加

2016060516274543e.jpg

x→∞でg'(x)→0
g'(x)<0

これでg(x)は単調減少
x→∞でg(x)→loge=1
で完成


第一問やしばっちり完答したいとこやな。



(1+1/x)^xは微分して単調増加って流れになってるけど、これは単調増加って有名やから覚えててもええかもな。

と言うことで
a_n=(1+1/n)^nがeに収束することの証明を紹介しとこか。
eに収束すると言うか、収束するって言う証明やな。

収束するからそれをeにしたって話やからな。

単調増加かつ上に有界って言えば収束すると言えるねん。

上に有界って言うのは、ある実数Aがあって
全てのnに対してa_n≦A
と出来るってことな。



201606051627469f2.jpg
単調増加は二項定理で展開する方法があるねん。

一つ項においてn(n-1)(n-2)…(n-k+1)/k!・(1/n)^k
はk個の1/nをn(n-1)(n-2)…(n-k+1)に分配して
1/k!・(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n)
とやるねん。

20160605162747d99.jpg

そしたらa_(n+1)も二項定理で展開したら1項目,2項目は1で共通
3項目からn+1項目までは同じように
1/k!・(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-(k-1)/(n+1))
これはa_nの3項目からn+1項目
1/k!・(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n)
よりnのとこがn+1になっていて大きいわけやな。

しかもa_(n+1)は更にn+2項目があって1/(n+1)^(n+1)>0やからa_(n+1)はより大きくなって

a_n<a_(n+1)
と言えるねん。

さっきの問題のように微分したら簡単と見せかけて
指数関数の微分は(1+x)^(1/x)→eと言う結果を使ってるから
微分して単調増加と言ってeに収束しますって言うと
eに収束するから微分できてeに収束しましたと言う循環論法やから気をつけてな。


20160605162749100.jpg

上に有界なことはa_nの3項目からn+1項目の一つの項が
1/k!・(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n)<1/k!

だから
1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!
を上から抑えるには、計算しやすくてこれより数列の和を考えてあげたらええやろな。

だいたい2の方が小さいから
k!=1・2・3・…・k>1・2・2・…・2=2^(k-1)

これで等比数列の和で簡単に計算しやすいわ。

1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!
<1+1+1/2+1/2^2+…+1/2^(n-1)
=1+(1-(1/2)^n)/(1-1/2)
=3-(1/n)^(n-1)
<3

で抑えられましたね。


これで収束することを証明できたな。

大学でよくやらされるねんけどな、ただこのネタを元に問題が出てることもあるから、こういうのもあるなってぐらいの程度で知っといてもええかもな。


東京大学の入試の数学の過去問の解説

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センター試験数学1A2013年度確率の問題の解説
今回はウェルカムハーニーに行きたいと思います

センター試験2013年度数学1A第4問の確率の問題の解説です

[問題]
(1)1から4までの数字を,重複を許して並べてできる4桁の自然数は,全部で[アイウ]個ある。
(2) (1)の[アイウ]個の自然数のうちで,1から4までの数字を重複なく使ってできるのものは[エオ]個ある。
(3) (1)の[アイウ]個の自然数のうちで,1331のように,異なる二つの数字を2回ずつ使ってできるものの個数を、次の考え方に従って求めよう。
(i) 1から4までの数字から異なる二つを選ぶ。この選び方は[カ]通りある。
(ii) (i)で選んだ数字のうち小さい方を,一・十・百・千の位のうち,どの2箇所に置くかを決める。置く2箇所の決め方は[キ]通りある。小さい方の数字を置く場所を決めると,大きい方の数字を置く場所は残りの2箇所に決まる。
(iii) (i)と(ii)より,求める個数は[クケ]個である。
(4) (1)の[アイウ]個の自然数を,それぞれ別々のカードに書く。できた[アイウ]枚のカードから1枚引き,それに書かれた数の四つの数字に応じて,得点を次のように定める。

・四つとも同じ数字のとき          9点
・2回現れる数字が二つあるとき     3点
・3回現れる数字が一つと,
1回だけ現れる数字が一つあるとき   2点
・2回現れる数字が一つと,
1回だけ現れる数字が二つあるとき   1点
・数字の重複がないとき            0点

(i)得点が9点となる確率は[コ]/[サシ],得点が3点となる確率は[ス]/[セソ]である。
(ii)得点が2点となる確率は[タ]/[チツ],得点が1点となる確率は[テ]/[トナ]である。
(iii)得点の期待値は[ニ]/[ヌ]点である。

[解答と解説]

(1)これは重複順列やな
千の位は1~4の4通り
そのそれぞれに対して
百の位は1~4の4通り
そのそれぞれに対して
十の位は1~4の4通り
そのそれぞれに対して
一の位は1~4の4通り
やから4×4×4×4=256
ですね


(2)数字を重複なくってことやから、1つずつ使ってことやな
千の位は1,2,3,4の4通りで
1に対しては
十の位は2,3,4の3通り
更に12に対して
一の位は3,4の2通り
で123とこれば残りは4の1通り
よって
4!=24
やな

(3)これはよく確率を求めるときに無意識にやってることやけど
組み合わせ→並べる
と言うようにこの操作を意識的に別々にやるねん

やることをシンプルに簡単にしていくのが戦略やからな


まさにそれを誘導してくれてると言う勉強にも良い問題です

(i)まずは数字の組み合わせだけを求めるねん
4つの数字から2つ選ぶだけやから
4C2=6やな

(ii)次に千,百,十,一の桁のところに並べることfだけ考えるねん

全部○○××の形やから同じが二つずつある並べ方やから
4!/(2!2!)=6


(iii)これで6×6=36やな


(4) の[アイウ]個の自然数を,それぞれ別々のカードに書く。できた[アイウ]枚のカードから1枚引き,それに書かれた数の四つの数字に応じて…

この文章から256個ある出来る整数は同様に確からしいってことを言いたいねんな

だから何通りあるかを数えたら確率になるねん


(i)得点が9はさすがに四つとも同じなのは全部1,2,3,4の4通りで
4/256=1/64
3点は2回現れる数字が二つってことはさっき(3)で求めたやつやから
36/256=9/64

(ii)2点になるのは○○○×のように出る感じやな
それでさっきの(3)の誘導の真似をしたらええねん

まず数字の組み合わせだけ求める
4つの数字が二つ選んで4C2=6
これで例えば1,2と選ぶと1,1,1,2と1,2,2,2の二つあるから
4C2×2=12通り

次に並べて同じのが三つある並べ方やから
4!/3!=4

よって12×4=48
だから
48/256=3/16

1点については
センターでは求めやすいのから求めさせて最後は余事象で求めさせるパターンばかりなので余事象なような気もします

周りから責めて焦らしていくねん

そしたら、簡単にいくことも多いわけや


でも0点はまだです

だがしかし重複がないのは(2)で求めています
だから
0点は
24/256=3/32

と簡単にわかるから

1点は
1-1/64-9/64-3/16-3/32
=9/16


だから期待値は
9×1/64+3×9/64+2×3/16+1×9/16
=96/64
=3/2


センター試験の過去問の解説






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センター試験数学1A2013年度平面幾何の問題の解説
はぁはぁ

はぅあ!

落ち着いてきたところでセンター試験2013年度数学1Aの第三問の平面幾何の解説をしよか


[問題]

点Oを中心とする半径3の円Oと,点Oを通り,点Pを中心とする半径1の円Pを考える。円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をA,Bとする。また,円Oの周上に,点Bと異なる点Cを,弦ACが点Pに接するようにとる。弦ACと円Pの接点をDとする。このとき
AP=√[アイ],OD=[ウ](√[エオ])/[カ]
である。さらに,cos∠OAD=[キ]/[ク]であり,AC=[ケコ]/[サ]である。
△ABCの面積は[シスセ]/[ソタ]であり,△ABCの内接円の半径は[チ]/[ツ]である。

(1)円Oの周上に,点Eを線分CEが円Oの直径となるようにとる。△ABCの内接円の中心をQとし,△CEAの内接円の中心をRとする。このとき,QR=[テト]/[ナ]である。したがって,内接円Qと内接円Rは[ニ]。
[ニ]に当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。

(0)内接する
(1)異なる2点で交わる
(2)外接する
(3)共有店を持たない

(2)AQ=[ヌ](√[ネノ])/[ハ]であるから,PQ=(√[ヒフ])/[ヘ]となる。
したがって,[ホ]。
[ホ]に当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。

(0)点Pは内接円Qの周上にある。
(1)点Qは円Pの周上にある
(2)点Pは内接円Qの内部にあり,点Qは円Pの内部にある
(3)点Pは内接円Qの内部にあり,点Qは円Pの外部にある。


[解答と解説]

解説いっとこか!

まず図を書いてみなあかんな

center20131a31.jpg

そしたら接すると言うことは円の中心と接線を結んだ線分と垂直になっていてまずそれを書くのが第一やな。

するとAPは三平方の定理で半径から
AP=√(1^2+3^1)
とわかるねん。

それで円の外の点から二接線を引いてたら、△AOP≡△ADPやったやんな

center20131a32.jpg

なんか変な生物がいますが敢えて気づかずに

APとODの交点をHとするとODの長さを求めるにはOHを求めれば2倍すればいいことがわかります。

そこで直角三角形APOに対して
sin∠PAO=PO/AP=1/√10
より
OD=2OH
=2AOsin∠PAO
=3(√10)/5
とわかります。

二等辺三角形が出ると頂角から垂線引いて直角三角形二つ作って

こうやって解くのはよくあるとこやな


cos∠OADは△OADに注目すれば余弦定理で出て
(AD^2+AO^2-OD^2)/2AD・AO
=4/5
とわかります


すると今度はACです。
センター試験やから前の問が誘導になってるから、それを元に考えなあかん

4/5やろ
しかもABは直径より∠ACB=90°やろ

4/5で直角…

center20131a33.jpg

そらもう3:4:5の直角三角形やろ

と言うことで

AC=AB×4/5
=24/5

△ABCの面積はBCの長さも求めておいたらいいから
BC=AB×3/5
=18/5

よって△OAB=1/2・AC・BC
=216/25

やな!

内接円の半径は他にもやり方あるけど面積あるから、
S=(a+b+c)/2でええやろ

216/25=r/2・(6+24/5+18/5)
r=6/5

でやっと(1)がはじまります。

(1)

センター試験の平面幾何はそのまま図を書いていくと、真っ黒になってまうやろ。
こんなもじゃもじゃでは見えんやろ。


と言うことで、新たに関係するものだけ書いた図を別に書いていくと見やすくなることが多いです。

今度は内接円やから、円Pは書かへんねん。

center20131a34.jpg

直角三角形で内接円やから、中心と接点を結ぶと辺と垂直になっていて直角のところで正方形が出来たやんな。
これをたぶん使うんやろな。

しかももう一つの直角三角形とは斜辺になる直径は同じ長さやし、ACは共通やから合同ですよね。
すると書いていくと正方形を書いてRQを引くと長方形になってますやん。

だから
QR=AC-2r
=24/5-12/4
=12/5
ってわかるねん。

それで内接円Qと内接円Rのことを聞いてるけど、半径を求めさせられいて、QRを求めさせれたわけやんな。

と言うことは半径と中心間の距離を求めされたわけやから、二円の関係ってことやな!

center20131a35.jpg

二円の関係は
和r1+r2=dが外接
差|r1-r2|=dが内接
さえ覚えいていれば他はわかると思うねんけど

和と差と中心間の距離を調べたらええねん

でも和が12/5+12/5=24/5=QRでもう外接やな

まあ図では離れてるねんけど、計算してみた結果わかると思ってくれたらええわ



(2)
今度はAQはAQについては円QとACとの交点をIとおくと直角三角形AIQから
AI=QR+r=2r+r=3rやって
三平方の定理から
AQ=√((3r)^2+r^2)
=(√10)r
=(6√10)/5

やな

ここでPが出てきたから、今度は円Rを書かずに円Pと円Qだけ書いたのを別に書くとみやすいねん。
center20131a36.jpg

ほら、そうしたら見やすいやろ
こんなに見えてしまったら、恥かしいくらいやな。

すると、どっちもACとADに接してるから二等分線上にあるねん。

更にAQをさっき求めされたから
PQ=AQ-AP
=(6√10)/5-√10
=(√10)/5
とわかるわけやな!

そしたら最後!!

選択肢を見ると点Pが円Qに入るかとか点Qが円Pに入るかとか聞いてるな。

これは難しいわけではないねんけど、あまり問われなかったかもしれん。

これはな、半径rの円って言うのは中心からの距離がrのところにある円やねん。

つまりこれより距離が近い点は内側やし、遠い点は外側なわけやねん。

この円をそういう領域と考えるわけやな。


center20131a37.jpg

そしたら円Pと点Qを考えると
円Pは半径1です。
つまり点Pからの距離が1以内の領域です。

点Qは点Pからどれくらいの距離のところにあるのかと言うと
PQ=(√10)/5
やったわけやな

これは1より小さいやんな

と言うことは領域ないやねん。

つまり点Qは円Pの内部にあるわけや


今度は見方をかえて円Qと点Pを考えると
円Qは半径6/5
つまり点Qからの距離が6/5以内の領域やな

点Pは点Qからの距離が(√10)/5やったから

これはそら6/5より小さい

と言うことは点Pは円Qに含まれるって言うことや!


センター試験の過去問の解説






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わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

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